二、平面与曲面立体相交

    平面与曲面立体相交，截交线一般是由曲线或曲线与直线组成的封闭的平面图形，当其投影为非圆曲线时，

可以利用表面取点的方法求出截交线上一系列点的投影，再连成光滑的曲线。

    1.平面截切圆柱

    平面截切圆柱时，根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，有下列三种截交形式（见表3-1）。

   （1）截平面（表中为正平面）平行于圆柱轴线  截交线为矩形，由于截平面为正平面，所以截交线的正面

投影反映实形，水平投影和侧面投影分别积聚成直线段。

 （2）截平面（表中为水平面）垂直于圆柱轴线  截交线为圆，其水平投影与圆柱面的水平投影重合，正面

投影和侧面投影分别积聚成直线段。

 （3）截平面（表中为正垂面）倾斜于圆柱轴线  截交线为椭圆，其正面投影积聚为直线段，水平投影与圆

柱面的水平投影重合，侧面投影一般仍为椭圆。

  下面举例说明圆柱的截交线投影的作图方法。

 【例3】求圆柱被正垂面P截切后的投影。（查看动画）

 【例4】求带切口圆柱的投影。        （查看动画）

 【例5】求圆柱开槽后的投影。        （查看动画）

  圆柱切口、开槽、穿孔是机械零件中常见的结构，应熟练地掌握其投影的画法。如图3-22所示，是空心圆

柱被平面截切后的投影，其外圆柱面截交线的画法与例5相同。内圆柱表面也会产生另一组截交线，画法与外

圆柱截交线画法类似，但要注意它们的可见性，截平面之间的交线被圆柱孔分成两段，所以、之间不应

连线。

  2.平面截切圆锥

  当截平面与圆锥轴线的相对位置不同时，圆锥表面上便产生不同的截交线，其基本形式有五种（见表3-2）。

 （1）当截平面通过圆锥顶点时  截交线是过锥顶的两条直线，连同它与锥底面的交线构成一个三角形；

 （2）当截平面垂直于圆锥轴线时，截交线为圆；

 （3）当截平面倾斜于圆锥轴线，且θ>α时，截交线为椭圆；

 （4）当截平面倾斜于圆锥轴线，且θ＝α时，截交线为抛物线；

 （5）当截平面平行或倾斜于圆锥轴线时（θ<α）,截交线为双曲线。

 【例6】求正垂面截切圆锥的投影。（查看动画）

　图3-24为侧平面截切圆锥的截交线的作图。侧平面与圆锥轴线平行，所以截交线为双曲线。双曲线的正面

投影和水平投影均积聚为直线；侧面投影反映实形，作图时用表面取点 法求出双曲线的顶点Ⅲ（正面投影轮廓

线上点）的侧面投影和Ⅰ、Ⅱ(截交线上只低点)的侧面投影，再求出若干一般位置点的投影，例如点Ⅳ、

Ⅴ的投影、。按的顺序连接成光滑曲线，即得截交线的侧面投影。

   【例7】求截切圆锥的投影。（查看动画）

    3.平面截切球

  平面与球的截交线是圆，圆的直径大小与截平面到球心的距离有关。截交线圆的投影与截平面对投影面的

相对位置有关。

  图3-26为一水平面截切球，其截交线圆的正面投影和侧面投影分别为直线段，而水平投影反映圆的实形。

  当截平面为某一投影面的垂直面时，则截交线圆在该投影面上投影为直线段，其他两个投影分别为椭圆。

　图3-27是一正垂面截切球，截交线的正面投影为直线段，其长度为截交线圆的直径；截交线圆的水平投影

和侧面投影分别为椭圆。作图步骤如下：

 （1）求截交线的投影

　①求截交线上特殊点的投影。球面正面投射轮廓线、水平投射轮廓线和侧面投射轮廓线上点的正面投影分

别为、、、、、，它们对应的水平和侧面投影可直接求出。截交线圆的水平和侧面投影都是椭

圆，两椭圆的短轴分别为12和，求出两椭圆的长轴端点，在正面投影上求出的中点。利用辅助圆

法求出其水平投影3、4和侧面投影、，分别为两椭圆的长轴。

　②求一般位置点。在上再取适当数量的一般点，然后用辅助圆法求出这些点的水平投影和侧面投影。

　③光滑连线并判别可见性。因所求各点的水平和侧面投影均可见，故分别用粗实线光滑连接之，即得所求

截交线的投影。

 （2）整理投影轮廓线。在各投影中，被截平面切去的那部分的投影轮廓线，不应画出。

 【例8】求半球切槽的投影。（查看动画）

                                                                        返回页首